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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27041 - Differentiable Manifolds


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27041 - Differentiable Manifolds
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject type:
Optional
Module:
---

1. General information

In this subject the notion of surface is generalized to spaces of dimension n. The goal is the study of the geometry of these spaces, known as differentiable manifolds, by means of the extension on them of results and tools from the analysis.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Understand the notions of differentiable manifold and smooth map between manifolds.
  • Be able to make computations in local coordinates.
  • Recognize and construct new manifolds as submanifolds of other given manifolds.
  • Determine properties of manifolds endowed with a metric and/or a group structure.

3. Syllabus

  1. Differentiable manifolds.
  2. Manifolds and smooth maps.
  3. Topological properties of manifolds. Partitions of unity.
  4. Tangent space. Differentiation on a manifold.
  5. Submersions, immersions and embeddings.
  6. Submanifolds.
  7. Lie group actions.
  8. Vector fields, integral curves and flows.
  9. The Lie derivative.
  10. One-parameter subgroups of a Lie group.
  11. The exponential map.
  12. The closed subgroup theorem.

4. Academic activities

Master classes: 45 hours.
Problem solving: 15 hours.
Project: 27 hours.
Study: 60 hours.
Assessment tests: 3 hours.

5. Assessment system

Along the course, the students are asked to solve different activities (mostly exercises and problems) and to give an oral presentation about a complementary subject related to the program of the course.

These activities (NC) correspond to the 70% of the final grade.

The other 30% will come from a written final exam (EF) after the end of the classes.

According to current bylaws, a student also has the right to show up to the final exam and complete the class upon passing the test.

Therefore, the final grade will be the greater of the following two quantities: (EF) and 0,7(NC)+0,3(EF).


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27041 - Variedades diferenciables


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27041 - Variedades diferenciables
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

En esta asignatura se generaliza la noción de superficie a espacios de dimensión n. El objetivo es el estudio de la geometría de estos espacios, conocidos como variedades diferenciables, por medio de la extensión a ellos de resultados y herramientas del análisis.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Comprender las nociones de variedad diferenciable y aplicación diferenciable entre variedades.
  • Ser capaz de realizar cálculos en coordenadas.
  • Reconocer y construir nuevas variedades como subvariedades de otras dadas.
  • Determinar propiedades de variedades con estructura métrica y/o estructura de grupo.

3. Programa de la asignatura

  1. Variedades diferenciables.
  2. Variedades y aplicaciones diferenciables.
  3. Topología de la variedad. Particiones de la unidad.
  4. Espacio tangente. Diferenciación sobre una variedad.
  5. Submersiones, inmersiones y encajes.
  6. Subvariedades.
  7. Acciones de grupos de Lie.
  8. Campos vectoriales, curvas integrales y flujos.
  9. La derivada de Lie.
  10. Subgrupos uniparamétricos de un grupo de Lie.
  11. La aplicación exponencial.
  12. El teorema del subgrupo cerrado.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 45 horas.
Resolución de problemas y casos: 15 horas.
Trabajos docentes: 27 horas.
Estudio: 60 horas.
Pruebas de evaluación: 3 horas.

5. Sistema de evaluación

A lo largo del curso se realizarán ejercicios escritos de problemas y cuestiones sobre los temas tratados.

Se propondrán trabajos sobre temas complementarios de la asignatura que se presentarán oralmente en clase.

Dichos ejercicios junto con la participación oral en las clases y los trabajos de complementación de los temas que se propondrán a lo largo del curso, servirán para la calificación del seguimiento del curso (NC).

Dicha calificación supondrá el 70% de la nota final.

El 30% restante provendrá del examen final (EF) realizado al finalizar el periodo lectivo de la asignatura.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global, que será el examen final anunciado antes.

Con lo cual la calificación final será el máximo entre (EF) y 0,7(NC)+0,3(EF).